Matematika Dasar: Cara Mudah Belajar Determinan dan Invers Matriks

Matematika dasar yang coba kita edit-edit adalah tentang determinan matriks dan invers matriks. Setelah kita bisa menjumlahkan, mengurangkan, dan mengalikan matriks maka determinan dan invers matriks ini menjadi syarat perlu untuk kita mengenal lebih jauh tentang matriks.

DETERMINAN MATRIKS

Salah satu penerapan determinan matriks adalah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel atau tiga variabel. Determinan matriks merepresentasikan suatu bilangan tunggal. Determinan diperoleh dengan mengalikan dan menjumlahkan elemen-elemen matriks dengan cara yang khusus.

Penulisan Determinan matriks $A$ bisa ditulis $"det(A)"$ atau $"|A|"$.

DETERMINAN MATRIKS $ 2 \times 2 $
Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $

$det(A)$ = $|A|$ = $ a \times d - b\times c $

Contoh:
$ A = \left( \begin{matrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right)$ dan

$ |A| = 4 \times 5 - 3 \times 2 $
$ |A| = 20 - 6 $
$ |A| = 14 $

DETERMINAN MATRIKS $ 3 \times 3 $ Cara Sarrus
Untuk menentukan determinan matriks $ 3 \times 3 \, $ dapat menggunakan cara Sarrus, mari kita coba edit-edit caranya;
Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right) $

determinan matriks $A$ adalah:

Catatan : Metode Sarrus hanya bisa digunakan untuk matriks $ 3 \times 3$ saja. Untuk matriks dengan ukuran yang lebih besar, bisa mengggunakan Metode Kofaktor. Metode kofaktor ini bisa digunakan untuk menentukan determinan semua ukuran matriks persegi.

Contoh:
Tentukan nilai determinan dari matriks-matriks berikut :
$ B = \left( \begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & -3 & 4 \end{matrix} \right) $

DETERMINAN MATRIKS $ 3 \times 3 $ Metode Kofaktor
Untuk bisa menghitung determinan matriks dengan menggunakan metode kofaktor, kita harus mengenal sub matriks atau minor sebuah matriks.

Pengertian minor suatu matriks
Minor suatu matriks $A$ yang dilambangkan dengan $ M_{ij}$ adalah matriks bagian dari $A$ yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemennya pada baris ke-$i$ dan elemen-elemen pada kolom ke-$j$.

Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right) $

Adapun Minor matriks $A$ pada baris satu:

 $ M_{11}, \, M_{12} , \, $ dan $ M_{13} \, $ merupakan submatriks $(minor)$ hasil ekspansi baris ke-1 dari matriks $A$.

Pengertian kofaktor suatu matriks
Kofaktor suatu elemen baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$ dari matriks $A$ dilambangkan dengan $k_{ij} = (-1)^{(i+j)} \times |M_{ij}| $ . Bentuk $|M_{ij}| $ menyatakan determinan dari minor $ M_{ij} $ .
Untuk menentukan nilai determinan matriks $A$ dengan metode kofaktor cukup mengambil satu ekspansi saja, misalkan ekspansi baris ke-1.

Determinan matriks A berdasarkan ekspansi baris ke-1
$ |A| = a_{11}. k_{11} + a_{12}.k_{12} + a_{13}.k_{13} $

$ |A| = a_{11}.(-1)^{(1+1)} . |M_{11}| + a_{12}.(-1)^{(1+2)} . |M_{12}| + a_{13}.(-1)^{(1+3)} . |M_{13}| $

$ |A| = a_{11}.(-1)^{(1+1)} . \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| +$ $ a_{12}.(-1)^{(1+2)} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}\right| +$$ a_{13}.(-1)^{(1+3)} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}\right| $

$ |A| = a_{11}.(-1)^{2} . \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| +$ $ a_{12}.(-1)^{3} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}\right| +$$ a_{13}.(-1)^{4} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}\right| $

$ |A| = a_{11}.1. \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| +$ $ a_{12}.(-1) . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}\right| +$ $ a_{13}.1 . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}\right| $

$ |A| = a_{11}. \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| - a_{12}. \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{13} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}\right| $

Catatan: menentukan determinan dengan metode kofaktor dapat menggukanan sembarang ekspansi, misalkan ekspansi baris ke-1, atau baris ke-2, atau baris ke-3, atau bisa juga menggunakan ekspansi kolom ke-1, atau kolom ke-2 atau kolom ke-3.

Contoh:
Tentukan determinan matriks $ B = \left( \begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & -3 & 4 \end{matrix} \right) $

Penyelesaian : metode kofaktor berdasarkan ekspansi baris ke-1

Menentukan minor baris ke-1

Menentukan kofaktor ekspansi baris ke-1
$ k_{11} = (-1)^{(1+1)}. |M_{11}| = (-1)^2. 12 = 12 $

$ k_{12} = (-1)^{(1+2)}. |M_{12}| = (-1)^3. (-4) = (-1).(-4) = 4 $

$ k_{13} = (-1)^{(1+3)}. |M_{13}| = (-1)^4. (-3) = -3 $

Menentukan determinan ekspansi baris ke-1
$\begin{align}
|B| & = b_{11}.k_{11} + b_{12}.k_{12} + b_{13}.k_{13} \\
& = 2.12 + 1.4 + 3.(-3) \\
& = 24 + 4 + (-9) \\
& = 19
\end{align} $

Jadi determinan matriks $B$ adalah $19$.

Sifat-sifat Determinan Matriks

Misalkan ada matriks $A$, $B$, dan $C$ yang memiliki nilai determinan. Berikut beberapa sifat-sifat determinan :

1. $ |A^t| = |A| $
2. $ |A.B| = |A| . |B| $
3. $ |A^n| = |A|^n $
4. $ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} $
5. $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A| $

Untuk sifat nomor 2, bisa juga diperumum untuk perkalian lebih dari dua matriks, misalkan $ |A.B.C| = |A|.|B|.|C| $ dan seterusnya.

Contoh:
1). Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) \, $ dan $ B = \left( \begin{matrix} -2 & -1 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right) $

Tentukan nilai dari
a). $ |A| \, $ dan $ |B| $
b). $ |A^t| $
c). $ |A.B| $
d). $ |A^5| $
e). $ |A^{-1}| $
f). $ |3A| $

Penyelesaian: Kita akan menggunakan sifat-sifat determinan

a). $ |A| = 4.3 - 2.5 = 12 - 10 = 2 \, $ dan $ |B| = (-2).1 - (-1).(-3) = -2 - 3 = -5 $

b). untuk menentukan nilai $ |A^t| \, $ kita menggunakan sifat nomor 1, artinya determinan transpsosenya sama dengan determinan matriks awalnya.
Sehingga $ |A^t| = |A| = 2 $

c). Sifat determinan nomor 2, artinya kita tidak perlu mencari hasil perkalian $ AB \, $ lalu mencari determinannya.
Sehingga $ |A.B| = |A|.|B| = 2 . (-5) = -10 $

d). Kita tidak perlu mencari nilai $ A^5$, langsung menggunakan sifat nomor 3.
Sehingga $ |A^5| = |A|^5 = 2^5 = 32 $

e). sifat nomor 4, kita tidak perlu mencari nilai $ A^{-1}$ [inversnya].
Sehingga $ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{2} $

f). Sifat nomor 5 , kita tidak mengalikan 3 dengan matriks A.
Sehingga $ |3A_{2 \times 2}| = 3^2 . |A| = 9 . 2 = 18 $



2). Suatu matriks A berordo $ 3 \times 3 \, $ memiliki nilai determinan $5$, tentukan nilai determinan $2A$?
Penyelesaian:
Berdasarkan sifat nomor 5,

$ |2A| = |2A_{3 \times 3} | = 2^3 . |A| = 8 . 5 = 40 $

Jadi, determinan matriks $2A$ adalah $40$.

3). Dari persamaan matriks berikut
$ \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) A \left( \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 0 & 10 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) $

tentukan nilai determinan matriks $A$?

Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan soal ini, kita tidak perlu mencari matriks A terlebih dahulu karena akan sulit dan butuh waktu
yang lama. Kita langsung menggunakan sifat determinan nomor 2 dengan cara ruas kiri dan ruas kanan kita kasih determinan.

$ \begin{align}
\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) A \left( \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 0 & 10 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \\
\left| \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) A \left( \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right) \right| & = \left| \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 0 & 10 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \right| \\
\left| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right| . \left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right| . \left|A \right| .\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right| & = \left| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 0 & 10 \end{matrix} \right|.\left| \begin{matrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right| \\
(4.3-2.5).(1.3-2.2).|A|.(2.6-2.1) & = (4.10-0.2).(0.3-3.1) \\
(12-10).(3-4).|A|.(12-2) & = (40 - 0).(0 - 3) \\
2.(-1).|A|.(10) & = (40).(- 3) \\
(-20).|A| & = -120 \\
|A| & = \frac{-120}{-20} = 6
\end{align} $

Jadi, nilai determinan matriks A adalah $6$.

Invers Matriks

Invers suatu matriks dilambangkan $ A^{-1}$, $ A^{-1}$ melambangkan invers dari matriks $A$. Secara umum hanya matriks persegi yang mempunyai invers. Berikut penjelasannya tentang invers.

Invers matriks $ 2 \times 2 $

Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $

$det(A) = |A| = $$ a \times d - b\times c $

invers matriks $A$ adalah $ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $

Contoh:
Tentukan invers dari matriks $ A = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) $

Penyelesaian:
Determinan matriks $A$
$ |A| = 3.1 - 2.2 = 3 - 4 = -1 $

Invers matriks $A$
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right)$
$A^{-1} = \frac{1}{-1} \left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right)$
$A^{-1} = -1 \left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right)$
$A^{-1} = \left( \begin{matrix} -1 & 2 \\ 2 & -3 \end{matrix} \right) $

Jadi, invers matriks $A$ adalah $ A ^{-1} = \left( \begin{matrix} -1 & 2 \\ 2 & -3 \end{matrix} \right) $

Invers matriks $ 3 \times 3$ dengan metode kofaktor

Secara umum, invers suatu matriks misalkan matriks $A$ adalah
$ A^{-1} = \frac{1}{|A|} . adj(A) $

$adj(A)$ artinya adjoin dari matriks $A$ yang diperoleh dengan cara mentranspose matriks kofaktor.

Misalkan matriks kofaktornya : $ K = \left( \begin{matrix} k_{11} & k_{12} & k_{13} \\ k_{21} & k_{22} & k_{23} \\ k_{31} & k_{32} & k_{33} \end{matrix} \right) $

dengan $ k_{ij} = (-1)^{(i+j)} \times |M_{ij}| $

maka adjoin matriks A adalah $ adj(A) = K^t $ .
Menentukan invers semacam ini disebut menggunakan metode kofaktor.

Catatan :
Rumus invers matriks A adalah $ A^{-1} = \frac{1}{|A|} . adj(A) $, dari rumus ini diperoleh:

• Jika $ |A| = 0$ [determinan$ = 0$], maka matriks tidak punya invers [disebut matriks singular]
• Jika $ |A| \neq 0 $ [determinan $ \neq 0$], maka matriks mempunyai invers [disebut matriks non singular]

Contoh:
Tentukan invers dari matriks $ A = \left( \begin{matrix} 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & -1 \end{matrix} \right)$