Matematika Dasar Barisan dan Deret Geometri (#Soal Dari Berbagai Sumber#)
Barisan dan deret salah satu materi matematika yang dipelajari pada SMA dan SMP, bahkan dalam bentuk soal cerita atau matematika realistik, soal tentang barisan dan deret sudah disisipkan pada materi matematika untuk tingkat SD.Barisan dan Deret Bilangan
Barisan Bilangan adalah urutan bilangan-bilangan yang disusun berdasarkan pola tertentu.Secara simbol sederhana barisan dapat kita tuliskan;
$U_{1}, U_{2}, U_{3}, \cdots ,U_{n}$
$U_{1}$ kita sebut Bilangan Pertama/Suku Pertama,
$U_{2}$ kita sebut Bilangan Kedua/Suku Kedua,
$U_{3}$ kita sebut Bilangan ketiga/Suku Ketiga,
$ \cdots $
$U_{n}$ kita sebut Bilangan ke-n/Suku ke-n,
Penggunaan istilah Suku Pertama, Suku Kedua dan seterusnya lebih familiar dibanding istilah Bilangan Pertama, Bilangan Kedua, jadi untuk berikutnya kita pakai istilah Suku Pertama,$ \cdots $ Suku ke-n.
Deret Bilangan merupakan penjumlahan dari suku-suku barisan.
Secara simbol sederhana deret bilangan dapat kita tuliskan;
$U_{1}+ U_{2}+ U_{3}+ \cdots +U_{n}$
$S_{1}$ kita sebut Jumlah satu suku pertama.
$S_{1}=U_{1}$
$S_{2}$ kita sebut Jumlah dua suku pertama.
$S_{2}=U_{1}+U_{2}$
$S_{3}$ kita sebut Jumlah tiga suku pertama.
$S_{3}=U_{1}+U_{2}+U_{3}$
$ \cdots $
$S_{n}$ kita sebut Jumlah $n$ suku pertama,
$S_{n}=U_{1}+U_{2}+U_{3}+ \cdots +U_{n}$
Barisan dan Deret Geometri
Setelah dapat memahami tentang barisan dan deret bilangan, sekarang coba kita diskusikan tentang Barisan dan Deret Bilangan Geometri yang sering disebut hanya Barisan Geometri. Suatu barisan bilangan dikatakan sebagai Barisan Geometri ($BG$) jika perbandingan antara suatu suku dan suku sebelumnya sama besar.Perbandingan antara suatu suku dan suku sebelumnya dinamakan dengan $rasio$ ($r$).
Contoh,
$2, 4, 8, 16, 32,...$ ($BG$ dengan $r=2$)
$27, 9, 3, 1, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{9}...$ ($BG$ dengan $r=\dfrac{1}{3}$)
Pada Barisan Geometri (BG) jika suku pertama diberi simbol dengan $a$ dan rasio dengan $r$ maka suku-suku BG secara umum dapat kita tuliskan menjadi;
$a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\cdots, ar^{n-1}$
Sedangkan jika $BG$ kita tuliskan menjadi Deret Geometri ($DG$), penulisan menjadi;
$a+\ ar+\ ar^{2}+\ ar^{3}+\cdots+ ar^{n-1}$
Dari bentuk umum diatas kita peroleh,
- rasio=$r$
$r=\dfrac{U_{2}}{U_{1}}=\dfrac{U_{3}}{U_{2}}=\dfrac{U_{7}}{U_{6}}$
$r=\dfrac{U_{n}}{U_{n-1}}$ - Suku ke-n
$U_{n}=ar^{n-1}$ - Jumlah n suku pertama
$S_{n}=\dfrac{a \left (r^{n}-1 \right )}{r-1}$
$S_{n}=\dfrac{a \left (1-r^{n} \right )}{1-r}$ - Suku Tengah berlaku untuk n bilangan ganjil
$U_{t}=\sqrt{U_{1} \cdot U_{n}}$
$S_{n}=n \cdot U_{t}$
Barisan dan Deret Geometri untuk beberapa buku memakai istilah dengan sebutan Deret Ukur. untuk memahami BG dan DG ini coba kita diskusikan beberapa contoh soal yang pernah diujikan pada Ujian Nasional dan SBMPTN.
1. Soal Ujian Nasional 2007 (#Soal Lengkap#)
Bakteri jenis A berkembang biak menjadi dua kali lipat setiap lima menit. Pada waktu lima belas menit pertama banyaknya bakteri ada 400. Banyak bakteri pada waktu tiga puluh lima menit pertama adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 640\ Bakteri \\
(B).\ & 3.200\ Bakteri \\
(C).\ & 6.400\ Bakteri \\
(D).\ & 12.800\ Bakteri \\
(E).\ & 32.000\ Bakteri \\
\end{align}$
Kita coba dengan memisalkan banyak bakteri awal atau mula-mula = $a$,
sehingga pada 5 menit berikut banyak bakteri adalah $2a$,
5 menit berikutnya banyak bakteri adalah $4a$ dan
5 menit berikutnya banyak bakteri adalah $8a$.
Sehingga banyak bakteri pada 15 menit pertama adalah suku ke-4 yaitu 400.
$U_{n}=ar^{n-1}$
$U_{4}=a2^{3}$
$400=8a$
$a=50$
kita peroleh banyak bakteri mula-mula adalah 50 bakteri.
Dengan mengikuti pola diatas juga banyak bakteri pada 50 menit pertama sama dengan suku ke-7, yaitu:
$U_{n}=ar^{n-1}$
$U_{7}=50 \cdot 2^{6}$
$U_{7}=50 \cdot 64$
$U_{7}=32.000$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ 32.000\ Bakteri$
2. Soal SM-UNPAD 2007
Sepotong kawat yang panjangnya 124 cm dipotong menjadi 5 bagian sehingga panjang setiap potongnya membentuk BG. Jika potongan kawat yang paling pendek adalah 4 cm, potongan kawat yang paling panjang adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 60\ cm\\
(B).\ & 64\ cm\\
(C).\ & 68\ cm\\
(D).\ & 72\ cm\\
(E).\ & 76\ cm
\end{align}$
Keterangan yang dapat kita ambil dari soal adalah panjang seluruh tali yang dibagi menjadi 5 bagian adalah 124.
Karena tali dibagi menjadi 5 bagian dengan mengikuti pola BG, maka jika kita urutkan dari panjang tali yang terkecil menjadi,
$a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4}$
barisan di atas panjang tali terpendek kita misalkan $a$ panjangnya adalah 4 dan jumlah barisan adalah 124, sehingga dapat kita tuliskan menjadi,
$a+ ar+ ar^{2}+ ar^{3}+ ar^{4}=124$
$S_{5}=124$
$\dfrac{a \left (r^{5}-1 \right )}{r-1}=124$
$\dfrac{4 \left (r^{5}-1 \right )}{r-1}=124$
$\dfrac{\left (r^{5}-1 \right )}{r-1}=31$
$\dfrac{\left (r^{4}+r^{3}+r^{2}+r+1 \right )\left (r-1 \right )}{r-1}=31$
$r^{4}+r^{3}+r^{2}+r+1=31$
$\left (r^{3}+3r^{2}+7r+15 \right )\left ( r-2 \right )=0$
salah satu nilai $r$ yang memenuhi adalah $r=2$
Potongan kawat yang paling panjang,
$U_{5}=ar^{5-1}$
$U_{5}=4 \cdot 2^{4}$
$U_{5}=4 \cdot 16$
$U_{5}=64$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 64\ cm$
3. Soal SPMB 2004 (#Soal Lengkap#)
Suku ke-4 suatu Barisan Geometri sama dengan suku ke-8 suatu Barisan Aritmatika. Kedua barisan tersebut mempunyai suku pertama sama dengan 2. Jika rasio BG sama dengan beda BA dan keduanya merupakan bilangan bulat, suku ke-5 BG dikurangi suku ke-11 BA sama dengan...
$\begin{align}
(A).\ & 2 \\
(B).\ & 8 \\
(C).\ & 10 \\
(D).\ & 14 \\
(E).\ & 16 \\
\end{align}$
$U_{4} [BG]=U_{8} [BA]$
$ar^{3}=a+7b$
untuk nilai $a=2$ dan $r=b$ maka kita peroleh,
$2r^{3}=2+7r$
$2r^{3}-7r-2=0$
$(r-2)(2r^{2}+4r+1)=0$
$(r-2)(2r-1)^{2}=0$
$r=2$ atau $r=\frac{1}{2}$
Nilai $r$ yang bulat adalah yang memenuhi, $r=2$.
Nilai suku ke-5 BG dikurangi suku ke-11 BA adalah,
$\begin{align}
U_{5} [BG]-U_{11} [BA] &= ar^{4}-(a+10b) \\
&= (2)(2)^{4}-(2+10(2)) \\
&= 32-22 \\
&= 10
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 10$
4. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (#Soal Lengkap#)
Empat bilangan membentuk suatu barisan aritmatika. Jika bilangan pertama dan bilangan kedua tetap, serta bilangan ketiga ditambah bilangan pertama dan bilangan keempat dikalikan 2, maka terbentuk suatu barisan geometri. Jika beda suku-suku pada barisan aritmetika adalah 2, maka jumlah empat bilangan pertama pada barisan geometri tersebut adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 8 \\
(B).\ & 20 \\
(C).\ & 24 \\
(D).\ & 30 \\
(E).\ & 36 \\
\end{align}$
Untuk soal ini ada penggabungan materi antara barisan aritmatika dan barisan geometri, jadi sedikit materi dari barisan aritmatika harus kita ketahui;
Misalkan $BA$ dengan $b=2$ adalah $(a),\ (a+2),\ (a+4),\ (a+6)$.
Barisan Geometri yang terbentuk:
$(a),\ (a+2),\ (a+4)+(a),\ 2(a+6)$.
$(a),\ (a+2),\ (2a+4),\ (2a+12)$.
dengan menggunakan ciri khas dari $BG$, kita peroleh
$\begin{align}
u_{2}^{2} & =u_{1} \cdot u_{3} \\
(a+2)^{2} & = a \cdot (2a+4) \\
a^{2}+4a+4 & = 2a^{2}+4a \\
a^{2}-4 & =0 \\
(a-2)(a+2) & =0 \\
a=2\ & \text{atau}\ a=-2
\end{align}$
Untuk $a=-2$ barisan adalah: $-2,\ 0,\ 0,\ 8$ bukan $BG$.
Untuk $a=2$ barisan adalah: $2,\ 4,\ 8,\ 16$ merupakan $BG$ sehingga jumlahnya adalah $30$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ 30$
5. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (#Soal Lengkap#)
Diketahui suatu barisan geometri yang terdiri atas empat suku dengan rasio $\dfrac{1}{2}$ dan suatu barisan aritmatika yang terdiri atas tiga suku dengan beda $b$. Jumlah semua suku barisan geometri tersebut dan jumlah semua suku barisan aritmetika tersebut masing-masing bernilai $1$. Jika suku pertama barisan geometri tersebut sama dengan suku ketiga barisan aritmetika, maka nilai $b$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & \dfrac{1}{15} \\
(B).\ & \dfrac{2}{15} \\
(C).\ & \dfrac{1}{5} \\
(D).\ & \dfrac{1}{3} \\
(E).\ & \dfrac{8}{15}
\end{align}$
Untuk soal ini ada penggabungan materi antara barisan aritmatika dan barisan geometri, jadi sedikit materi dari barisan aritmatika harus kita ketahui;
Misalkan:$BG$ dengan $r=\dfrac{1}{2}$ adalah $a,\ \dfrac{1}{2}a,\ \dfrac{1}{4}a,\ \dfrac{1}{8}a$.
$\begin{align}
a+ \dfrac{1}{2}a+ \dfrac{1}{4}a+ \dfrac{1}{8}a & = 1 \\
\dfrac{8}{8}a+ \dfrac{4}{8}a+ \dfrac{2}{8}a+ \dfrac{1}{8}a & = 1 \\
\dfrac{8+4+2+1}{8}a & = 1 \\
15a & = 8 \\
a & = \dfrac{8}{15}
\end{align}$
Misalkan $BA$ dengan $b=b$ adalah $u_{1}-b,\ u_{1},\ u_{1}+b$.
$\begin{align}
u_{1}-b+ u_{1}+ u_{1}+b & = 1 \\
3u_{1} & = 1 \\
u_{1} & = \dfrac{1}{3}
\end{align}$
Karena $u_{1}$ $BG$ sama dengan $u_{3}$ $BA$, maka
$\begin{align}
u_{1}+b & = a \\
\dfrac{1}{3}+b & = \dfrac{8}{15} \\
b & = \dfrac{8}{15}-\dfrac{1}{3} \\
& = \dfrac{8}{15}-\dfrac{5}{15} \\
& = \dfrac{3}{15}=\dfrac{1}{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ \dfrac{1}{5}$
6. Soal SBMPTN 2018 (#Soal Lengkap#)
Jika $-2,\ a+3,\ a-1$ membentuk barisan geometri, maka jumlah $11$ suku pertama yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A).\ & -2 \\
(B).\ & -1 \\
(C).\ & 0 \\
(D).\ & 1 \\
(E).\ & 2
\end{align}$
Dari $BG$ $-2,\ a+3,\ a-1$ kita peroleh;
$\begin{align}
u_{2}^{2} & = u_{1} \cdot u_{3} \\
(a+3)^{2} & = -2 \cdot (a-1) \\
a^{2}+6a+9 & = -2a+2 \\
a^{2}+8a+7 & = 0 \\
(a+1)(a+7) & = 0 \\
(a+1)=0\ & \text{atau}\ (a+7)=0 \\
a=-1\ & \text{atau}\ a=-7
\end{align}$
Untuk $a=-1$ maka $BG$: $-2,\ 2,\ -2,\ \cdots$
Jumlah $11$ suku pertama adalah
$\begin{align}
S_{n} & = \dfrac{a \left (r^{n}-1 \right )}{r-1} \\
S_{11} & = \dfrac{-2 \left ((-1)^{11}-1 \right )}{-1-1} \\
& = \dfrac{-2 \left (-1-1 \right )}{-1-1} \\
& = \dfrac{4}{-2} \\
& = -2
\end{align}$
Untuk $a=-7$ maka $BG$: $-2,\ -4,\ -8,\ \cdots$
Jumlah $11$ suku pertama adalah
$\begin{align}
S_{n} & = \dfrac{a \left (r^{n}-1 \right )}{r-1} \\
S_{11} & = \dfrac{-2 \left ((2)^{11}-1 \right )}{-1-1} \\
& = \dfrac{-2 \left (2^{11}-1 \right )}{-2} \\
& = 2^{11}-1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ -2$
7. Soal SBMPTN 2018 (#Soal Lengkap#)
Diberikan barisan geometri $u_{n}$, dengan $u_{3}+u_{4}=4(u_{1}+u_{2})$ dan $u_{1}u_{4}=4u_{2}$. Jumlah $4$ suku pertama yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A).\ & -2 \\
(B).\ & -1 \\
(C).\ & 5 \\
(D).\ & 10 \\
(E).\ & 15
\end{align}$
Dari $BG$ yang memenuhi $u_{3}+u_{4}=4(u_{1}+u_{2})$ dan $u_{1}u_{4}=4u_{2}$ kita peroleh;
$\begin{align}
u_{3}+u_{4} & = 4(u_{1}+u_{2}) \\
ar^{2}+ar^{3} & = 4(a+ar) \\
ar^{2}+ar^{3} & = 4a+4ar \\
r^{2}+r^{3} & = 4+4r \\
r^{3}+r^{2}-4r-4 & = 0 \\
(r+1)(r+2)(r-2) & = 0 \\
r=-1,\ r=-2,\ & \text{atau}\ r=2 \\
\end{align}$
$\begin{align}
u_{1}u_{4} & = 4u_{2} \\
a \cdot ar^{3} & = 4(ar) \\
a \cdot ar^{3} & = 4ar \\
ar^{2} & = 4
\end{align}$
Untuk $r=-1$ maka $a=4$ $BG$: $4,\ -4,\ 4,\ -4,\ \cdots$
Untuk $r=-2$ maka $a=1$ $BG$: $1,\ -2,\ 4,\ -8,\ \cdots$
Untuk $r=2$ maka $a=1$ $BG$: $1,\ 2,\ 4,\ 8,\ \cdots$
Jumlah $4$ suku pertama yang mungkin adalah: $0$, $-5$ atau $15$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ 15$
8. Soal SBMPTN 2017 (#Soal Lengkap#)
Perbandingan suku ke-6 terhadap suku pertama suatu barisan geometri adalah $\dfrac{1}{32}$. Jika jumlah suku ke-3 dan suku ke-4 adalah $15$, maka jumlah $3$ suku pertama barisan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 30 \\
(B).\ & 40 \\
(C).\ & 50 \\
(D).\ & 60 \\
(E).\ & 70
\end{align}$
Dari $BG$ yang disampaikan pada soal, dapat kita peroleh;
$\begin{align}
\dfrac{u_{6}}{u_{1}} & = \dfrac{1}{32} \\
\dfrac{ar^{5}}{a} & = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{5} \\
r^{5} & = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{5} \\
r & = \dfrac{1}{2} \\
u_{3}+u_{4} & = 15 \\
ar^{2}+ar^{3} & = 15 \\
\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{8}a & = 15 \\
\dfrac{3}{8}a & = 15 \\
a & = \dfrac{120}{3}=40
\end{align}$
Barisan geometri adalah $40,\ 20,\ 10,\ 5,\ cdots$ dan jumlah $3$ suku pertama barisan tersebut adalah $70$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ 70$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan" ___pythagoras- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Jika Bermanfaat👌 Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring👀
Berbagai Sumber
0 Response to "Matematika Dasar Barisan dan Deret Geometri (#Soal Dari Berbagai Sumber#)"
Post a Comment